Десять одинаковых резисторов соединены в кольцо. К местам соединения стали подключать клеммы омметра. Оказалось, что наибольшее его показание R = 200 Ом. Каково наименьшее возможное показание омметра (не нулевое!)?
К каким бы точкам не подключался омметр, в любом случае цепь будет представлять собой параллельное соединение двух последовательных ветвей.Сопротивление каждой ветви равно сумме сопротивлений входящих в эту ветвь резисторов. Если у нас 10 одинаковых сопротивлений величиной R, а в одну ветвь входит n сопротивлений из имеющихся 10, то сопротивление одной ветви Rx=nR, а другой ветви Ry=(10-n)R.
Таким образом, мы представили каждую из двух последовательных ветвей в виде двух эквивалентных сопротивлений Rx и Ry.
При параллельном включении двух сопротивлений общее сопротивление определяется формулой:
\[R_0=\frac{R_xR_y}{R_x+R_y}\]
Тогда можем записать зависимость общего сопротивления для нашего случая от величины сопротивления R и количества сопротивлений в ветви n:
\[R_0=\frac{nR*(10-n)R}{nR+(10-n)R}\] \[R_0=\frac{n(10-n)R}{10}\]
По условию Ro=200 Ом.
\(\frac{n(10-n)R}{10}=200\) \((1)\)
Полученная функция согласно условию задачи имеет экстремум (сопротивление максимально). Тогда производная от нее по n равна нулю. Продифференцируем ее по n и приравняем нулю:
\[2nR-10R=0\] \[n=5\]
Получаем, что сопротивление максимально в случае, когда в каждой ветви по пять резисторов, что соответствует подключению омметра в точках 1 и 2.
Величина каждого из 10 сопротивлений находится путем подстановки в уравнение (1)
\[R_0=80\;Ом\]
В случае параллельного соединения сопротивлений общее сопротивление всегда меньше меньшего из двух сопротивлений, входящих в параллельное соединение. Тогда минимальное сопротивление будет при подключении омметра к точкам 3 и 4. В этом случае в одной ветви будет 80 Ом, а в другой 9*80=720 Ом
\[R_0=\frac{80*720}{80+720}=72\;Ом\]