С балкона, высота которого 5 метров над поверхностью Земли, брошен камень под углом 45° к горизонту. Камень упал на землю на расстоянии 48 метров от места, над которым находится балкон. Определить начальную скорость камня, время его полёта, наибольшую высоту подъёма, радиус кривизны траектории в наивысшей точке, скорость камня в момент падения на землю, угол, который образует скорость камня в момент падения на землю с горизонтальным направлением. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Уравнение движения тела, брошенного под углом к горизонту

This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.

Здесь:
x, y — координаты тела,
u0 — начальная скорость тела (м/с),
α — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
t — время движения (c)

Если из первого уравнения выразить t и подставить его во второе, то получим зависимость y от х:

(0)

(1)

Если начало координат совместить с точкой балкона, то в момент падения на землю согласно условию y=-5, x=48

Подставим эти значения в (1) и выразим начальную скорость:

(2)

(3)

м/с (4)

Время полета из (0):

c (5)

При достижении уровня балкона во время падения камня его вертикальная скорость равна начальной вертикальной скорости:

м/с (6)

Тогда время падения с высоты 5 метров до земли можем найти из формулы равноускоренного движения с начальной скоростью:

(7)

(8)

(9)

Решив квадратное уравнение (9) найдем значение времени падения камня с высоты 5 метров после прохождения им максимальной высоты подъема:

Второй корень квадратного уравнения (9) отрицательный, не подходит по условию

Тогда время до максимального подъема t1 равно половине времени полета t за вычетом времени падения камня с уровня 5 метров:

Таким образом, максимальная высота подъема камня над землей будет равна высоте балкона плюс высота подъема после броска:

(10)

м (11)

Радиус кривизны траектории движения связан с нормальным ускорением, которое направлено перпендикулярно вектору скорости. В высшей точке вертикальная скорость равна нулю. Нормальное ускорение равно:

(11)

Но, на камень во время полета не действуют никакие силы, кроме силы тяжести. Это значит, что на камень действует только ускорение земного тяготения. Тогда

(12)